Question

(本小题满分12分)
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求的单调递增区间；
（Ⅱ）若的图象恒在的图象的上方，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）的单调递增区间为. （Ⅱ）.   

本试题主要是考查了运用导数求解函数单调性的问题以及运用导数证明不等式的恒成立问题的综合运用。
（1）先求解定义域和导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调的增减区间。
（2）设，
， 6分
的图象恒在的图象的上方，只要，转化为最值问题来解决。
解：（Ⅰ）由，令知，
∵，∴，所以的单调递增区间为.  4分
（Ⅱ）设，
， 6分
的图象恒在的图象的上方，只要
①时，在上递减，在上递增，
，.   8分
②当时，恒成立.    10分
③当时，在上递减，在上递增，
，即，
综上，的取值范围为. 12分