Question

（本小题满分12分）
为实数，函数
（1）求的单调区间
（2）求证：当且时，有
（3）若在区间恰有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）的递减区间为；递增区间为.
（2）
；
（3）   

本试题主要是考查了函数的单调性和函数的极值，以及函数的零点的综合运用
（1）因为令得.
当时，   
当时，
可知单调增减区间。
（2）设
则
由（1）知：

，即在上递增
从而得到不等式的证明。
（3）由（1）可得

得到参数a的范围。
解：（1） 令得.
当时，   
当时，
∴的递减区间为；递增区间为.………………….（4分）
（2）设
则
由（1）知：

，即在上递增

即…………………. ………………….（8分）
（3）由（1）可得

即，或
        …………….（12分）