Question

2．已知正项数列{a_n}的前三项分别为1，3，5，S_n为数列的前n项和，满足：nS²_n+1-（n+1）S²_n=（n+1）（3n³+An²+Bn）（A，B∈R，n∈N^*）．
（1）求A，B的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足（n+1）a_n=$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$（n∈N₊），求数列{b_n}的前n项和T_n．
（参考公式：1²+2²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1））

Answer 1

分析 （1）由正项数列{a_n}的前三项分别为1，3，5，nS²_n+1-（n+1）S²_n=（n+1）（3n³+An²+Bn）（A，B∈R，n∈N^*）．分别令n=1，2，可得：${S}_{2}^{2}$-$2{S}_{1}^{2}$=2（3+A+B），$2{S}_{3}^{2}$-3${S}_{2}^{2}$=3（24+4A+2B），又S₁=a₁=1，a₂=3，a₃=5，S₂=4，S₃=9．代入解出即可得出．
（2）由（1）可得：nS²_n+1-（n+1）S²_n=（n+1）（3n³+3n²+n）化为：$\frac{{S}_{n+1}^{2}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}^{2}}{n}$=3n²+3n+1．再利用“累加求和”方法即可得出．
（3）由（2）可得：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．利用递推关系可得b_n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵正项数列{a_n}的前三项分别为1，3，5，S_n为数列的前n项和，满足：nS²_n+1-（n+1）S²_n=（n+1）（3n³+An²+Bn）（A，B∈R，n∈N^*）．
分别令n=1，2，可得：${S}_{2}^{2}$-$2{S}_{1}^{2}$=2（3+A+B），$2{S}_{3}^{2}$-3${S}_{2}^{2}$=3（24+4A+2B），又S₁=a₁=1，a₂=3，a₃=5，S₂=4，S₃=9．
∴4²-2×1=2（3+A+B），2×9²-3×4²=3（24+4A+2B），化为：$\left\{\begin{array}{l}{A+B=4}\\{2A+B=7}\end{array}\right.$，解得A=3，B=1．
（2）由（1）可得：nS²_n+1-（n+1）S²_n=（n+1）（3n³+3n²+n）化为：$\frac{{S}_{n+1}^{2}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}^{2}}{n}$=3n²+3n+1．
∴$\frac{{S}_{n}^{2}}{n}$=$（\frac{{S}_{n}^{2}}{n}-\frac{{S}_{n-1}^{2}}{n-1}）$+$（\frac{{S}_{n-1}^{2}}{n-1}-\frac{{S}_{n-2}^{2}}{n-2}）$+…+$（\frac{{S}_{2}^{2}}{2}-\frac{{S}_{1}^{2}}{1}）$+${S}_{1}^{2}$=3[（n-1）²+（n-2）²+…+1²]+3（1+2+…+n-1）+n
=3×$\frac{（n-1）n（2n-1）}{6}$+3×$\frac{n（n-1）}{2}$+n
=n³，S_n＞0．
∴S_n=n²．
（3）由（2）可得：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
∵数列{b_n}满足（n+1）a_n=$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$（n∈N₊），即（n+1）（2n-1）=$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$（n∈N₊），
∴n=1时，2=$\frac{{b}_{1}}{2}$，解得b₁=4．
当n≥2时，n（2n-3）=$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$，
可得：$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=4n-1，即b_n=（4n-1）•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=4+7×2²+11×2³+…+（4n-1）•2ⁿ．
2T_n=-4+3×2²+7×2³+…+（4n-5）•2ⁿ+（4n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=8+4（2²+2³+…+2ⁿ）-（4n-1）•2ⁿ⁺¹=4×$\frac{{2（2}^{n}-1）}{2-1}$-（4n-1）•2ⁿ⁺¹=（5-4n）•2ⁿ⁺¹-8，
∴T_n=（4n-5）•2ⁿ⁺¹+8（n=1时也成立）．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、“累加求和”、递推关系、公式1²+2²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．