Question

9．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两坐标系中的单位长度相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ）．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线$l：\;\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2（sinθ+cosθ），两边同时乘以ρ，
得ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，因为ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，
所以曲线C的直角坐标方程为：x²+y²=2y+2x，
整理得（x-1）²+（y-1）²=2…5分
（Ⅱ）将直线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入圆的方程，
整理得${t^2}+\sqrt{2}t-1=0$，由韦达定理可得：${t_1}+{t_2}=-\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=-1$，
由直线的参数方程的几何意义，
得：$\left|{EA}\right|+\left|{EB}\right|=\left|{t_1}\right|+\left|{t_2}\right|=\left|{{t_1}-{t_2}}\right|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{6}$…10分．

点评 本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．