Question

在△ABC中，若sin（2π-A）=-

2

sin（π-B），

3

cosA=-

2

cos（π-B），求△ABC的三内角．

Answer 1

考点：正弦定理,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：利用诱导公式化简已知的两等式，得到的关系式分别记作①和②，①²+②²，并利用同角三角函数间的基本关系化简，得出cos²A的值，开方可得cosA的值，同时由

①

②

，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到tanA与tanB的关系，再利用正弦定理化简关系式①，得到a与b的关系，可得a大于b，根据三角形中大边对大角可得A大于B，求出B，A，利用内角和求出C．

解答： 解：把已知的等式化简得：-sinA=-

2

sinB，即sinA=

2

sinB①，

3

cosA=

2

cosB②，
①²+②²得：sin²A+3cos²A=2sin²B+2cos²B，即1+2cos²A=2，
∴cos²A=

1

2

，即cosA=

2

2

或cosA=-

2

2

，
又

①

②

得：tanA=

3

tanB，
利用正弦定理化简①得：a=

2

b，即a＞b，则有A＞B，
∴cosA=

2

2

时，A=

π

4

，即tanA=1，
则有tanB=

3

3

，此时B为最小角，
∴B=

π

6

；∴C=π-

π

6

-

π

4

=

7π

12

．
综上，△ABC的三个内角中三个内角分别为：C=

7π

12

；B=

π

6

；A=

π

4

．

点评：本题考查诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，利用了分类讨论的思想，解题的关键是灵活变换已知的两等式．