Question

16．函数y=x$\sqrt{3-{x}^{2}}$（x＞0）的最大值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得x＞0，3-x²≥0，可得0＜x≤$\sqrt{3}$，可得y=x$\sqrt{3-{x}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}}$•$\sqrt{3-{x}^{2}}$，再由基本不等式可得最大值及x的取值．

解答 解：由x＞0，3-x²≥0，可得0＜x≤$\sqrt{3}$，
则y=x$\sqrt{3-{x}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}}$•$\sqrt{3-{x}^{2}}$
≤$\frac{{x}^{2}+3-{x}^{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
当且仅当x²=3-x²，即x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，
取得最大值$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求函数的最值，注意运用变形和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．