Question

8．在数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，如果a_n+1是1与$\frac{{2{a_n}{a_{n+1}}+1}}{4-a_n^2}$的等比中项，那么a₁+$\frac{a_2}{2^2}$+$\frac{a_3}{3^2}$+$\frac{a_4}{4^2}$+…$\frac{{{a_{99}}}}{{{{99}^2}}}$的值是$\frac{99}{100}$．

Answer 1

分析 通过计算出数列{a_n}的前几项猜想通项公式a_n=$\frac{n}{n+1}$，并用数学归纳法来证明，进而裂项、并项相加计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1是1与$\frac{{2{a_n}{a_{n+1}}+1}}{4-a_n^2}$的等比中项，
∴${{a}_{n+1}}^{2}$=$\frac{{2{a_n}{a_{n+1}}+1}}{4-a_n^2}$，
又∵a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，
∴${{a}_{2}}^{2}$=$\frac{2×\frac{1}{2}{a}_{2}+1}{4-\frac{1}{{2}^{2}}}$，即：15${{a}_{2}}^{2}$-4a₂-4=0，
解得：a₂=$\frac{2}{3}$或a₂=-$\frac{2}{5}$（舍），
猜想：a_n=$\frac{n}{n+1}$．下面用数学归纳法来证明：
（1）当n=1时，命题显然成立；
（2）假设当n=k时有a_k=$\frac{k}{k+1}$，则${{a}_{k+1}}^{2}$=$\frac{2{a}_{k}{a}_{k+1}+1}{4-{{a}_{k}}^{2}}$，
∴${{a}_{k+1}}^{2}$=$\frac{\frac{2k}{k+1}{a}_{k+1}+1}{4-（\frac{k}{k+1}）^{2}}$，即$\frac{（k+2）（3k+2）}{（k+1）^{2}}$${{a}_{k+1}}^{2}$-$\frac{2k}{k+1}$a_k-1=0，
∴（$\frac{k+2}{k+1}$a_k+1-1）（$\frac{3k+2}{k+1}$+1）=0，解得：a_k+1=$\frac{k+1}{k+2}$或a_k+1=-$\frac{k+1}{3k+2}$（舍），
即当n=k+1时，命题也成立；
由（1）（2）可知a_n=$\frac{n}{n+1}$．
∴a₁+$\frac{a_2}{2^2}$+$\frac{a_3}{3^2}$+$\frac{a_4}{4^2}$+…$\frac{{{a_{99}}}}{{{{99}^2}}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{99×100}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$）
=1-$\frac{1}{100}$
=$\frac{99}{100}$，
故答案为：$\frac{99}{100}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．