Question

14．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{x{+∫}_{0}^{m}3{t}^{2}dt，x≤0}\end{array}\right.$，若f（f（1））=8则（x²-$\frac{1}{x}$）^m+4展开式中常数项为15．

Answer 1

分析 利用分段函数的意义可得f（1），再利用微积分基本定理解得m．再利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：∵f（1）=ln1=0，
∴f（f（1））=f（0）=0+${∫}_{0}^{m}$3t²dt=${t}^{3}{|}_{0}^{m}$=m³-0，
∴m³=8，解得m=2．
$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{6}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}（{x}^{2}）^{6-r}$$（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}$x^12-3r，
令12-3r=0，解得r=4．
∴（x²-$\frac{1}{x}$）^m+4展开式中常数项=$（-1）^{4}{∁}_{6}^{4}$=$\frac{6×5}{2}$=15．
故答案为：15．

点评 本题考查了分段函数的性质、二项式定理及展开式的通项公式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．