Question

15．由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为仅含cosx的二次多项式．
（1）类比cos2x公式的推导方法，试用仅含有cosx的多项式表示cos3x；
（2）已知3×18°=90°-2×18°，试结合第（1）问的结论，求出sin18°的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式转化求解即可．
（2）直接利用诱导公式以及三倍角公式化简求解即可．

解答 解：（1）cos2x═cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2sin²xcosx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cosx，
（2）因为cos（3×18°）=cos（90°-2×18°），
所以4cos³18°-3cos18°=2sin18°cos18°，
所以4cos²18°-3=2sin18°，
所以4sin²18°+2sin18°-1=0，
解得sin18°=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$（$\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$舍去）．

点评 本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．