Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P．若点P的纵坐标为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则该双曲线的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 设右焦点F（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为l：y=$\frac{x}{a}$，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的纵坐标，由条件结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设右焦点F（c，0），且c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
设双曲线的一条渐近线方程为l：y=$\frac{x}{a}$，
由PF⊥l，可得直线PF的方程为y=-a（x-c），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-a（x-c）}\\{y=\frac{x}{a}}\end{array}\right.$消去x，可得y=$\frac{ac}{1+{a}^{2}}$，
即有y=$\frac{ac}{{c}^{2}}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{e}$，
由点P的纵坐标为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得$\frac{1}{e}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即有e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于基础题．