Question

已知函数f（x）=

a3x+a-2

3x+1

，函数f（x）为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意t∈[-1，0]，不等式f（t²-2t-1）+f（2t²-k）≤0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）结合函数f（-x）=-f（x），得到2a=

2•3x+2

3x+1

，解出即可；（2）设x₁＞x₂，由定义证明即可；（3）问题转化为3t²-2t-1≤k，求出g（t）=3t²-2t-1在[-1，0]上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=a-

2

3x+1

，
∴f（-x）=a-

2

3-x+1

=a-

2•3x

3x+1

，
又∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即：a-

2•3x

3x+1

=-a+

2

3x+1

，
∴2a=

2•3x+2

3x+1

，
∴a=1；
（2）由（1）得：f（x）=1-

2

3x+1

，f（x）在（-∞，+∞）上递增，
证明如下：
设x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=1-

2

3x1+1

-1+

2

3x2+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵x₁＞x₂，∴3x1＞3x2，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R上是增函数；
（3）若对任意t∈[-1，0]，不等式f（t²-2t-1）+f（2t²-k）≤0恒成立，
则f（t²-2t-1）≤-f（2t²-k）恒成立，
则f（t²-2t-1）≤f（k-2t²）≤0恒成立，
由（2）得：f（x）在R上递增，
∴t²-2t-1≤k-2t²，
∴3t²-2t-1≤k，
令g（t）=3t²-2t-1，则g（t）在[-1，0]上递减，
∴g（t）_max=g（-1）=4，
∴k≥4．

点评：本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，函数的最值问题，是一道中档题．