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已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=,nN+.

(1)b1,b2,b3的值.

(2)cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和,求证: Sn17n.

(3)求证:|b2n-bn|<·.

 

(1) (2) (3)见解析

【解析】(1)因为a1=1,a2=4,a3=4a2+a1=17,a4=72,所以b1=4,b2=,b3=.

(2)an+2=4an+1+an

=4+,

bn+1=4+.

所以当n2,bn>4,于是c1=b1b2=17,cn=bnbn+1=4bn+1>17(n2),

所以Sn=c1+c2++cn17n.

(3)n=1,结论|b2-b1|=<成立.

n2,|bn+1-bn|=|4+-4-|=

|||bn-bn-1||bn-1-bn-2|≤…

|b2-b1|=.

所以|b2n-bn||bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|++|b2n-b2n-1|×[()n-1+()n++()2n-2]

=·<·(n2).

因此|b2n-bn|<·(nN+).

 

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