Question

（本小题满分12分）已知函数在同一半周期内的图象过点，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点.

（Ⅰ）求证：为等腰直角三角形.

（Ⅱ）将绕原点按逆时针方向旋转角，得到，若点恰好落在曲线上（如图所示），试判断点是否也落在曲线上，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）点不落在曲线上.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为函数的最小正周期，所以函数的半周期为4，故． 又因为为函数图象的最高点，所以点坐标为，故，又因为坐标为，所以，根据勾股定理，即可证明为等腰直角三角形. （Ⅱ）

由（Ⅰ）知，，所以点,的坐标分别为,

， 因为点在曲线上，所，根据角的范围，化简可得，所以点不落在曲线上．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）因为函数的最小正周期， 1分

所以函数的半周期为4，

故． 2分

又因为为函数图象的最高点，

所以点坐标为，故， 3分

又因为坐标为，所以，

所以且，所以为等腰直角三角形. 5分

（Ⅱ）点不落在曲线上. 6分

理由如下：

由（Ⅰ）知，，

所以点,的坐标分别为,， 8分

因为点在曲线上，

所以，

即，又，所以. 10分

又.

所以点不落在曲线上． 12分

考点：1.三角函数的图象与性质、三角函数的定义；2.二倍角公式.