Question

12．已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上．
（1）求点C的坐标及S_△ABC；
（2）若直线l'过点C且与x轴、y轴正半轴分别交于P、Q两点，则：
①求S_△POQ的最小值及此时l'的方程；
②求|PC|•|QC|的最小值及此时l'的方程．

Answer 1

分析 （1）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；联立直线方程可得交点，利用直角三角形的面积计算公式即可得出．
（2）①设l'的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），则$\frac{4}{a}+\frac{3}{b}$=1≥2$\sqrt{\frac{12}{ab}}$，即可求S_△POQ的最小值及此时l'的方程；
②设直线的倾斜角为π-α，则|PC|•|QC|=$\frac{3}{sinα}•\frac{4}{cosα}$=$\frac{24}{sin2α}$，即可求|PC|•|QC|的最小值及此时l'的方程．

解答 解：（1）由题意可知，E为AB的中点，∴E（3，2），
∵k_AB=-1，∴k_CE=1，
∴CE：y-2=x-3，即x-y-1=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得C（4，3），
∴|AC|=|BC|=2，AC⊥BC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2$=2．
（2）①设l'的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），则$\frac{4}{a}+\frac{3}{b}$=1≥2$\sqrt{\frac{12}{ab}}$，
∴ab≥48，∴S_△POQ≥24，即S_△POQ的最小值为24，此时a=8，b=6，
∴l'的方程为$\frac{x}{8}+\frac{y}{6}$=1；
②设直线的倾斜角为π-α，则|PC|•|QC|=$\frac{3}{sinα}•\frac{4}{cosα}$=$\frac{24}{sin2α}$，
当且仅当α=45°时，|PC|•|QC|的最小值为24，此时l'的方程为x+y-7=0．

点评 本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点、直角三角形的面积计算公式，考查直线方程，考查了计算能力，属于中档题．