Question

20．各项均为正数的等比数列{a_n}，其前n项和为S_n．若a₂-a₅=-78，S₃=13，则数列{a_n}的通项公式a_n=3^n-1．

Answer 1

分析 根据等比数列的通项公式和前n项和公式列出关于公比q和首项a₁的方程组，通过解方程组求得它们的值．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比是q（q＞0）．
∵a₂-a₅=-78，S₃=13，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q-{a}_{1}{q}^{4}=-78}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=13}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$，
故数列{a_n}的通项公式a_n=3^n-1．
故答案是：3^n-1．

点评 等差数列的通项公式和前项和公式在解题是起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．解题时要注意方程思想的应用．