Question

P为椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点，F₁，F₂为左右焦点，若∠F₁PF₂=60°．
（1）求△F₁PF₂的面积；
（2）求P点的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a=10，由余弦定理可得：8²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-3mn=100-3mn，解得mn．再利用三角形的面积计算公式即可得出．
（2）设P（x，y），可得kPF1=

y

x+4

，kPF2=

y

x-4

，由于∠F₁PF₂=60°．可得

y x+4 - y x-4

1+ y2 x2-16

=±tan60°=±

3

，化为-8y=±

3

（x²+y²-16），与

x2

25

+

y2

9

=1联立解得即可．

解答： 解：（1）由椭圆

x2

25

+

y2

9

=1可得a=5，b=3，c=4．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
则m+n=2a=10，
由余弦定理可得：8²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-3mn=100-3mn，
解得mn=12．
∴△F₁PF₂的面积S=

1

2

mnsin60°=3

3

．
（2）设P（x，y），则

x2

25

+

y2

9

=1．F₁（-4，0），F₂（4，0）．
∴kPF1=

y

x+4

，kPF2=

y

x-4

，
∵∠F₁PF₂=60°．
∴

y x+4 - y x-4

1+ y2 x2-16

=±tan60°=±

3

，
化为-8y=±

3

（x²+y²-16），与

x2

25

+

y2

9

=1联立解得：(±

5 13

4

，

3 3

4

)，(±

5 13

4

，-

3 3

4

)．

点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程、余弦定理、三角形的面积计算公式、到角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．