Question

已知函数y=f（x）  是定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式 f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1≤0）恒成立，x²+y²的最小值是（　　）

• A、0
• B、

  5

  5

• C、

  2 5

  5

• D、3

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称，可得函数是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，可得y≥-2x+2，设t=x²+y²，利用换元法，即可求x²+y²的最小值．

解答： 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点 （0，0）对称，即函数是奇函数
∴不等式f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0等价于不等式f（x²+y-1）≤f（x²-2x+1）
∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，
∴x²+y-1≥x²-2x+1，
∴y≥-2x+2
设t=x²+y²，则x=

t

cosα，y=

t

sinα，
∴

t

sinα≥-2

t

cosα+2
∴

5t

sin（α+φ）≥2，其中sinφ=

2 5

5

∴

5t

≥2，
∴t≥

2 5

5

即x²+y²的最小值是

2 5

5

故选：C．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．