Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{3}$，∠ABC=120°，G为线段PC上的点，
（1）证明：BD⊥平面PAC
（2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO为DG与平面PAC所成的角，由此能求出DG与平面APC所成的角的正切值．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
设AC与BD的交点为O，
∵AB=BC=2，AD=CD=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{3}$，
∴BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于$\frac{1}{2}$PA，
故由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，
∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．
由题意可得GO=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=4+4-2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2$\sqrt{3}$，OC=$\sqrt{3}$，
Rt△COD中，OD=$\sqrt{C{D}^{2}-C{O}^{2}}$=2，
∴Rt△GOD中，tan$∠DGO=\frac{OD}{OG}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴DG与平面APC所成的角的正切值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．