Question

P点在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上运动，Q、R分别在两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为

 

，最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的两焦点恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心坐标．设椭圆左右焦点为F₁，F₂，由三角形两边之差小于第三边知：|PQ|最小为|PF₁|-1，最大为|PF₁|+1，同理：|PR|最小为|PF₂|-1，最大为|PF₂|+1，从而可求|PQ|+|PR|的最大值与最小值．

解答： 解：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的两焦点为（-1，0），（1，0），恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心坐标．
设椭圆左右焦点为F₁，F₂，由三角形两边之差小于第三边知：|PQ|最小为|PF₁|-1，最大为|PF₁|+1
同理：|PR|最小为|PF₂|-1，最大为|PF₂|+1
∴|PQ|+|PR|的最小为|PF₁|+|PF₂|-2=2×2-2=2，最大为|PF₁|+|PF₂|+2=2×2+2=6
故|PQ|+|PR|的最大值为6，最小值为2，
故答案为：6；2．

点评：本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查线段和的取值范围问题，解题的关键是利用椭圆的两焦点恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心坐标．