Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，且过点P（3，2）．

（1）求椭圆C`的标准方程；

（2）设与直线OP（O为坐标原点）平行的直线交椭圆C于A，B两点，求证：直线PA，PB与轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】分析：（1）由题意可得a2=18，b=3．则椭圆C的标准方程为：.

（2）设直线l的方程为2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入椭圆方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，结合韦达定理计算可得kAP+kBP=0，则kAP=﹣kBP，即直线PA，PB与轴围成一个等腰三角形．

详解：（1）由题意可得：，=1，a2=b2+c2，联立解得：a2=18，b=3．

∴椭圆C的标准方程为：．

（2）设直线l的方程为2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线方程代入椭圆方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，

△＞00＜|t|＜12，

∴，，

∵kAP+kBP=+=，

∴分子=（x2﹣3）+

=+（x1+x2）﹣2t+12=+﹣2t+12=0，

∴kAP+kBP=0，∴kAP=﹣kBP，∴直线PA、PB与x轴所成的锐角相等，故围成等腰三角形．