Question

4．已知函数f（x）=alnx-$\frac{1-a}{x}$（a为常数）
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+y-3=0垂直，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）-x的在区间（1，+∞）单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由切线方程可得f′（2）=$\frac{a}{2}$+$\frac{1-a}{4}$=1，解方程即可得到a的值；
（2）求出g（x）的导数，并分解因式，由g′（x）=0得x=1或x=a-1，对a讨论，当a＞2时，当a=2时，当1＜a＜2时，当a≤1时，令导数小于0，得减区间．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$+$\frac{1-a}{{x}^{2}}$，
由曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+y-3=0垂直，
可得f′（2）=$\frac{a}{2}$+$\frac{1-a}{4}$=1，
解得：a=3；
（2）g（x）=f（x）-x=alnx-$\frac{1-a}{x}$-x，
g′（x）=$\frac{a}{x}$-1+$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（-x+a-1）}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0得x=1或x=a-1，
若a-1＞1即a＞2时，由g′（x）＜0得0＜x＜1或x＞a-1，
则a＞2时，g（x）的减区间为（0，1），（a-1，+∞）；
与函数在区间（1，+∞）单调递减不符，不合题意；
若a-1=1即a=2时，g′（x）＜0，即有g（x）的减区间为（0，+∞），符合题意；
若0＜a-1＜1即1＜a＜2时，可得g（x）的减区间为（0，a-1），（1，+∞），符合题意；
若a-1≤0，即a≤1时，g（x）的减区间为（1，+∞），符合题意；
综上，a≤2．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，掌握导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率和分类讨论的思想方法是解题的关键．