Question

3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=4，BC=AD=$\sqrt{5}$，E和F分别为AD与BC的中点，对于常数λ，在梯形ABCD的四条边上恰好有8个不同的点P，使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{5}{4}$，-$\frac{9}{20}$）
• B． （-$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{4}$）
• C． （-$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$）
• D． （-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 建立坐标系，设P的坐标，根据建立坐标系，设P的坐标，根据$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=λ得到λ关于x的方程，根据P的位置分四种情况讨论方程解得情况．

解答 解：以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系
则梯形的高为$\sqrt{5-1}$=2，∴A（-1，2），B（1，2），C（2，0），D（-2，0），∴E（-$\frac{3}{2}$，1），F（$\frac{3}{2}$，1）．
1）当P在DC上时，设P（x，0）（-2≤x≤2），则$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，1），$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}$，1）．
于是$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+1=x²-$\frac{5}{4}$=λ，
∴当λ=-$\frac{5}{4}$时，方程有一解，当-$\frac{5}{4}$＜λ≤$\frac{11}{4}$时，λ有两解；
（2）当P在AB上时，设P（x，2）（-1≤x≤1），则$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，-1），$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}$，-1）．
∴$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+1=x²-$\frac{5}{4}$=λ，
∴当λ=-$\frac{5}{4}$时，方程有一解，当-$\frac{5}{4}$＜λ≤-$\frac{1}{4}$时，λ有两解；
（3）当P在AD上时，直线AD方程为y=2x+4，
设P（x，2x+4）（-2＜x＜-1），则$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，-2x-3），$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}$-x，-2x-3）．
于是$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+（-2x-3）²=5x²+12x+$\frac{27}{4}$=λ．
∴当λ=-$\frac{9}{20}$或-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{9}{4}$时，方程有一解，当-$\frac{9}{20}$＜λ＜-$\frac{1}{4}$时，方程有两解；
（4）当P在CD上时，由对称性可知当λ=-$\frac{9}{20}$或-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{9}{4}$时，方程有一解，
当-$\frac{9}{20}$＜λ＜-$\frac{1}{4}$时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点P满足$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立，
则λ的取值范围是（-$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{4}$]∩（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{4}$]∩（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）∩（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）=（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数与二次方程的关系，分类讨论思想，属于中档题．