Question

13．已知函数f（x）=alnx+x²+bx（a为实常数）．
（I）若a=-2，b=-3，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若b=0，且a＞-2e²，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（Ⅲ）设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）问题转化为$a≥\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$（x∈[1，e]），令$g（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$（x∈[1，e]），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ） a=-2，b=-3时，f（x）=-2lnx+x²-3x，定义域为（0，+∞），
$f'（x）=-\frac{2}{x}+2x-3=\frac{{2{x^2}-3x-2}}{x}=\frac{（x-2）（2x+1）}{x}$，
在（0，+∞）上，f′（2）=0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）的单调增区间为（2，+∞）；单调减区间为（0，2）；
（Ⅱ）因为b=0，所以f（x）=alnx+x²$f'（x）=\frac{{2{x^2}+a}}{x}（x＞0）$，
x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]，
（i） 若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，
此时[f（x）]_min=f（1）=1；
（ii）若-2e²＜a＜-2，a+2＜0，a+2e²＞0，
$f'（x）=\frac{{2[{x^2}-（-\frac{a}{2}）]}}{x}=\frac{{2（x-\sqrt{-\frac{a}{2}}）（x+\sqrt{-\frac{a}{2}}）}}{x}$，x∈[1，e]，
当$x=\sqrt{\frac{-a}{2}}$时，f'（x）=0，$-2{e^2}＜a＜-2{，}1＜\sqrt{\frac{-a}{2}}＜e$，
当$1≤x＜\sqrt{\frac{-a}{2}}$时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当$\sqrt{\frac{-a}{2}}＜x≤e$时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故${[f（x）]_{min}}=f（\sqrt{\frac{-a}{2}}）=\frac{a}{2}ln（-\frac{a}{2}）-\frac{a}{2}$；
（Ⅲ） b=0，f（x）=alnx+x²不等式f（x）≤（a+2）x，
即alnx+x²≤（a+2）x可化为a（x-lnx）≥x²-2x．
因为x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x且等号不能同时取，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0，因而$a≥\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$（x∈[1，e]），
令$g（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$（x∈[1，e]），又$g'（x）=\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{{{{（x-lnx）}^2}}}$，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=-1，所以实数a的取值范围是[-1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．