Question

2．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-2y+1≥0\\ x-y≤0\end{array}\right.$，且目标函数之z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值为2，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，并找出目标函数取得最大值时的条件，进而利用基本不等式的性质即可求出．

解答 解：由x，y满足线性约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-2y+1≥0\\ x-y≤0\end{array}\right.$，作出可行域．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（2，1）．
由可行域可知：当目标函数经过点A时z取得最大值2，
∴a+b=2（a＞0，b＞0），
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{b}}）$=$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，
当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{a}{b}$，a+b=2时取等号．
故答案为：$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$．

点评 本题考查线性规划的有关内容及基本不等式的运用，确定a+b=2，正确运用基本不等式是关键．