Question

6．已知实数t满足关系式log_a$\frac{t}{{{a^3}_{\;}}}={log_t}$$\frac{y}{a^3}$（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1）
（1）令t=a^x，求y=f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下若x∈（0，2]时，y有最小值8，求a和x的值．

Answer 1

分析 （1）直接将t=a^x的代入化简消去t即得到y=f（x）的表达式；
（2）利用复合函数的单调性，对底数a进行讨论最值情况，从而求出a和x的值．

解答 解：（1）由题意：log_a$\frac{t}{{{a^3}_{\;}}}={log_t}$$\frac{y}{a^3}$（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1）
可得：log_at-3=log_ty-3log_ta
由t=a^x，可得x=log_at，$\frac{1}{x}=lo{g}_{t}a$，代入上式得x-3=log_ty-$\frac{3}{x}$，（注log_ty=$\frac{1}{x}lo{g}_{a}y$）
∴log_ay=x²-3x+3，即$y={a}^{{x}^{2}-3x+3}$ （x≠0）
故得：y=f（x）的表达式：$f（x）={a}^{{x}^{2}-3x+3}（x≠0）$
（2）由（1）可得$f（x）={a}^{{x}^{2}-3x+3}（x≠0）$，
令u=x²-3x+3=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$ （x≠0），
那么：f（x）=a^u
①若0＜a＜1，要使y=a^u有最小值8，
则u=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$ 在（0，2]上应有最大值，但u在（0，2]上不存在最大值．
②若a＞1，要使y=a^u有最小值8，u=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$ 在（0，2]上应有最小值．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，则u_min=$\frac{3}{4}$，y_min=${a}^{\frac{3}{4}}$，
由题意：${a}^{\frac{3}{4}}=8$
解得：a=16．
因此：所求a和x的值分别为16，$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了对数与指数的互化和对数的运算，复合函数的最值问题．属于中档题．