Question

18．某公司生产的某产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：

时间：（第x天）	1	3	6	10	…
日销量（m件）	198	194	188	180	…

①该产品90天内日销量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
②该产品90天内销售价格（元/件）与时间（第x天）的关系如下表：

时间：（第x天）	1≤x＜50	50≤x＜90
销售价格（元/件）	x+60	100

（1）求m关于x的函数关系；
（2）设销售该产品每天利润为y元，求y关于x的函数表达式；并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？[每天利润=日销量x（销售价格-每件成本）]．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；
（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y=-2x²+160x+4000；当50≤x≤90时，y=-120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论

解答 解：（1）∵m与x成一次函数，
∴设m=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=198}\\{3k+b=194}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$．
所以m关于x的一次函数表达式为m=-2x+200；
（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2{x}^{2}+160x+4000，1≤x≤50}\\{y=-120x+12000，50≤x≤90}\end{array}\right.$，
当1≤x＜50时，y=-2x²+160x+4000=-2（x-40）²+7200，
∵-2＜0，
∴当x=40时，y有最大值，最大值是7200；
当50≤x≤90时，y=-120x+12000，
∵-120＜0，
∴y随x增大而减小，即当x=50时，y的值最大，最大值是6000；
综上所述，当x=40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元．

点评 本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．