Question

12．已知函数f（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=$\frac{2e}{x}$（e为自然对数底数），若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（II）求出函数的导函数，令导函数大于等于0恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范围．
（III）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围．

解答 解：（I）当p=2时，函数f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，
f′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1）
即y=2x-2．
（II）f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{px}^{2}-2x+p}{{x}^{2}}$，
令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
由题意p＞0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，
对称轴方程为x=$\frac{1}{p}$∈（0，+∞），
∴h（x）_min=p-$\frac{1}{p}$，只需p-$\frac{1}{p}$≥0，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．
（III）∵g（x）=$\frac{2e}{x}$在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
当p＜0时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向下的抛物线，
对称轴x=$\frac{1}{p}$在y轴的左侧，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
当p=0时，h（x）=-2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，
f′（x）=-$\frac{2x}{{x}^{2}}$＜0，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意；
当0＜p＜1时，由x∈[1，e]⇒x-$\frac{1}{x}$≥0，所以f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx≤x-$\frac{1}{x}$-2lnx．
又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴x-$\frac{1}{x}$-2lnx≤e-$\frac{1}{e}$-2lne=e-$\frac{1}{e}$-2＜2，不合题意；
当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，
f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
而f（x）_max=f（e）=p（e-$\frac{1}{e}$）-2lne，g（x）_min=2，
即p（e-$\frac{1}{e}$）-2lne＞2，解得p＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
综上所述，实数p的取值范围是（ $\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）．

点评 解决曲线的切线问题，常利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切线方程；解决函数单调性已知求参数范围问题，常令导函数大于等于0（小于等于0）恒成立，求出参数的范围．