Question

3．已知函数f（x）=e^x（其中e为自然对数的底数），g（x）=$\frac{n}{2}$x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1-$\frac{n}{2}$，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若m=-$\frac{15}{2}$，n∈N^*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e²＜$\frac{15}{2}$]．

Answer 1

分析 （1）T（x）=f（x）g（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+m）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$）；求导T′（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1）；从而确定函数的最大值；
（2）由题意，f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}$x-$\frac{15}{2}$；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0恒成立；从而化为最值问题．

解答 解：（1）T（x）=f（x）g（x）
=e^x（$\frac{n}{2}$x+m）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$）；
故T′（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1）；
则当n≥-2时，T′（x）≥0；
故T（x）在[0，1]上的最大值为T（1）=e；
当n＜-2时，x∈[0，-$\frac{2}{n}$）时，T′（x）＞0；x∈（-$\frac{2}{n}$，1]时，T′（x）＜0；
T（x）在[0，1]上的最大值为T（-$\frac{2}{n}$）=-$\frac{n}{2}$${e}^{-\frac{2}{n}}$；
（2）由题意，f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}$x-$\frac{15}{2}$；
故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为
F（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0恒成立；F′（x）=e^x-$\frac{n}{2}$；
故F（x）在（-∞，ln$\frac{n}{2}$）上是减函数，在（ln$\frac{n}{2}$，+∞）上是增函数；
故可化为F（ln$\frac{n}{2}$）＞0；即$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$＞0；
令G（n）=$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$；故G′（n）=-$\frac{1}{2}$（ln$\frac{n}{2}$+1）＜0；
故G（n）=$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$是[1，+∞）上的减函数，
而G（2e²）=-e²+$\frac{15}{2}$＞0；G（14）=7（1-ln7）+$\frac{15}{2}$＞0；
G（15）=7.5（1-ln7.5）+$\frac{15}{2}$＜0；故最大正整数n为14．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．