Question

13．已知曲线C上的点到直线x=-2的距离比它到点F（1，0）的距离大1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）做斜率为k的直线交曲线C于M，N两点，求证：$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P的轨迹；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）与抛物线方程联立，可得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求出$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$为定值．

解答 （Ⅰ）解：因为动点P到直线x=-2的距离比它到点F（1，0）的距离大1，
所以动点P到直线x=-1的距离与它到点F（1，0）的距离相等，
故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y²=4x．
（Ⅱ）证明：直线y=k（x-1）与抛物线方程联立，可得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，
∴$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=1，
∴$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$为定值．

点评 本题考查抛物线定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．