Question

8．已知圆C满足：①圆心在第一象限，截y轴所得弦长为2，②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，③圆心到直线x-2y=0的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）若点M是直线x=3上的动点，过点M分别做圆C的两条切线，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出圆P的圆心坐标，可得到圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，根据垂径定理得到圆截x轴的弦长，找出r与b的关系式，利用垂径定理得到r与a的关系式，两个关系式联立得到a与b的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x-2y=0的距离，让其等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得到a与b的关系式，将两个a与b的关系式联立即可求出a与b的值，得到圆心P的坐标，然后利用a与b的值求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
（Ⅱ）设点M（3，t），MP²=MC²-r²=t²-2t+3
以M为圆心，MP为半径的圆的方程为（x-3）²+（y-t）²=t²-2t+3…①
又（x-1）²+（y-1）²=2…②．
由①②得2x+（t-1）y-3-t=0，即（2x-y-3）+t（y-1）=0，可得直线PQ过定点（2，1）

解答 解：设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，
知圆P截x轴所得的弦长为$\sqrt{2}r$．故r²=2b²
又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r²=a²+1．从而得2b²-a²=1；
又因为P（a，b）到直线x-2y=0的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以d=$\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即有a-2b=±1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{b}^{2}-{a}^{2}=1}\\{a-2b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2{b}^{2}-{a}^{2}=1}\\{a-2b=-1}\end{array}\right.$
解方程组得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，于是r²=2b²=2，
∵圆心在第一象限
所求圆的方程是（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ）设点M（3，t），MP²=MC²-r²=t²-2t+3
以M为圆心，MP为半径的圆的方程为（x-3）²+（y-t）²=t²-2t+3…①
又（x-1）²+（y-1）²=2…②．
由①②得2x+（t-1）y-3-t=0，即（2x-y-3）+t（y-1）=0
∴直线PQ过定点（2，1）

点评 本小题主要考查轨迹的问题、圆的相交弦问题，考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题．