Question

12．已知△ABC中．AB=BC，延长CB至D，使AC⊥AD，若$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λ-μ=3．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形得出AB是Rt△ACD斜边的中线，用向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$，求出λ、μ的值即可．

解答 解：如图所示，

△ABC中，AB=BC，
延长CB到D，使AC⊥AD，
∴AB是Rt△ACD的斜边CD上的中线，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$），
化为$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$．
与$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$比较，
得λ=2、μ=-1，
∴λ-μ=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了直角三角形斜边中线的性质与向量的线性运算问题，是基础题．