Question

13．在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=2，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{DB}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=6．

Answer 1

分析 由向量垂直的条件：数量积为0，由向量共线的知识可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，再由向量的数量积的性质即可得到所求值．

解答 解：∠A=90°，AB=3，AC=2，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{DB}$，即为$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$=2（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$），
即有$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$²
=0+$\frac{2}{3}$×9=6．
故答案为：6．

点评 本题考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，考查向量共线的表示，考查运算能力，属于中档题．