Question

已知函数f（x）=

ln(ax)

x+1

，曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x-2y=0平行．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≤b-

2

x+1

恒成立，求实数b的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，由导数值等于

1

2

，求得实数a的值；
（2）由题得：b≥

2+lnx

x+1

（x＞0）恒成立，构造g（x）=

2+lnx

x+1

，求出g（x）_max=1，即可求实数b的最小值．

解答： 解：（1）f'（x）=

1 x (x+1)-lnax

(x+1)2

=

1+ 1 x -lnax

(x+1)2

，
由f'（1）=

2-lna

4

=

1

2

，解得a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=

lnx

x+1

，∴由题得：b≥

2+lnx

x+1

（x＞0）恒成立，
设g（x）=

2+lnx

x+1

，则g'（x）=

1 x -lnx-1

(x+1)2

，再设h（x）=

1 x -lnx-1

(x+1)2

，则h'（x）=-

x+1

x2

＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上递减，
又h（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上为增函数；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上为减函数；
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴只需b≥g（x）_max=1，即b≥1，
∴b的最小值b_min=1．

点评：本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查函数的最值，正确分离参数是关键，是中档题．