Question

已知曲线C的极坐标方程为ρ=

4cosθ

sin2θ

，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t为参数）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可把ρ=

4cosθ

sin2θ

即ρ²sin²θ=4ρcosθ，化为直角坐标方程；消去参数t，即可得出直线的普通方程；
（II）把直线方程与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．

解答： 解：（ I） 由ρ=

4cosθ

sin2θ

得ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴y²=4x；
由

x=- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t为参数），消去参数t，得x+y-1=0；
曲线C的直角坐标方程为y²=4x；直线l的普通方程x+y-1=0；
（ II） 设直线l交曲线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x+y-1=0 y2=4x

，消去y得，x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1；
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

×

36-4

=8，
∴直线l被曲线C截得的线段AB的长为8．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线方程与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．