Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=

4

5

，直线y=x+4经过椭圆的左焦点F₁．
（1）求该椭圆的方程；
（2）若该椭圆上有一点P满足：

PF1

•

PF2

=0，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出焦点的坐标，运用离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（2）运用勾股定理，结合椭圆的定义，求得|PF₁|•|PF₂|=18，再由三角形面积公式即可得到．

解答： 解：（1）直线y=x+4与x轴的交点的坐标为（-4，0），
则F₁的坐标为（-4，0），c=4．
∵e=

c

a

=

4

5

，∴a=5，b²=a²-c²=9．
则椭圆的方程为

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）由

PF1

•

PF2

=0得：

PF1

⊥

PF2

，所以PF₁⊥PF₂，
所以△PF₁F₂是直角三角形，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=64．
又∵|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=100，
则|PF₁|•|PF₂|=18
故S△F1PF2=

1

2

|PF1|•|PF2|=9．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质：离心率，考查平面向量的数量积的性质，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．