Question

已知函数f（x）=xe^-x（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及极值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）＞f（2-x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞2．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）直接利用函数的导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可求函数f（x）的单调区间及极值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f（2-x）求出g'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x，通过x＞1，判断g（x）在[1，+∞）上是增函数，即可证明当x＞1时，f（x）＞f（2-x）；
（Ⅲ）当x₁，x₂都在（-∞，1）或都在（1，+∞）时，通过f（x）是单调函数，推出x₁=x₂，这与已知矛盾，说明x₁，x₂一个在（-∞，1）内，另一个在（1，+∞）内，不妨设x₁＞1，x₂＜1，利用函数的关系式，证明x₁+x₂＞2．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：f'（x）=（1-x）e^-x
令f'（x）=0，则x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

∴f（x）在（-∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
∴f（x）在x=1处取得极大值

1

e

；                     …（4分）
（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）-f（2-x）
则g（x）=xe^-x-（2-x）e^x-2
∴g'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x
∵x＞1，∴2x-2＞0，∴e^2x-2-1＞0
又∵e^-x＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数
又∵g（1）=0∴x＞1时g（x）＞g（1）=0
即当x＞1时，f（x）＞f（2-x）…（8分）
（Ⅲ）证明：当x₁，x₂都在（-∞，1）或都在（1，+∞）时由于f（x）是单调函数，
所以x₁=x₂，这与已知矛盾，所以x₁，x₂一个在（-∞，1）内，另一个在（1，+∞）内
不妨设x₁＞1，x₂＜1，则
由（Ⅱ）知x₁＞1时，f（x₁）＞f（2-x₁），
又f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₂）＞f（2-x₁）
∵x1＞1，  ∴2-x1＜1，∴x₂，2-x₁∈（-∞，1）
∵f（x）在（-∞，1）上是增函数，∴x₂＞2-x₁，∴x₁+x₂＞2…（12分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性的判断极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．