Question

已知复数z₁=1+3i，z₂=

3

cosα+isinα，求复数z=z₁•z₂实部的最值．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：把z₁=1+3i，z₂=

3

cosα+isinα代入z=z₁•z₂，化简后得到z的实部，然后利用三角运算求实部的最值．

解答： 解：∵z₁=1+3i，z₂=

3

cosα+isinα，
∴z=z₁•z₂=（1+3i）（

3

cosα+isinα）
=

3

cosα+isinα+3

3

icosα-3sinα
=（

3

cosα-3sinα）+i（sinα+3

3

cosα），
∴z的实部为t=

3

cosα-3sinα=2

3

sin(

π

6

-α)．
∴当α=2kπ-

π

3

，k∈Z时，tmax=2

3

；
当α=2kπ-

4π

3

，k∈Z时，tmin=-2

3

．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了三角函数值域的求法，是基础题．