Question

已知F₁（0，1），F₂（0，-1）分别为椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1 (a＞b＞0)的上、下焦点，抛物线C₂的顶点在坐标原点，焦点为F₁，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|=

5

3

．
（1）求抛物线C₂及椭圆C₁的方程；
（2）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=k（x+t），kt≠0交椭圆C₁于A，B两点，若椭圆C₁上存在点P满足

OA

+

OB

=λ

OP

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出抛物线的方程为x²=2py，求得p=2，可得抛物线方程；由抛物线的定义可得M的坐标，由椭圆的定义可得a=2，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）由直线和圆相切的条件：d=r，以及直线方程和椭圆方程联立，消去y，运用韦达定理，化简整理，再由二次函数的值域，即可得到范围．

解答： 解：（1）由于抛物线C₂的顶点在坐标原点，焦点为F₁（0，1），
设抛物线C₂的方程为x²=2py，即

p

2

=1，即有p=2，
则抛物线方程为x²=4y；
由题意得a²-b²=1，
又由抛物线定义可知|MF₁|=y_M+1=

5

3

，得y_M=

2

3

，
所以M（-

2 6

3

，

2

3

），从而|MF₁|=

( 2 6 3 )2+( 2 3 +1)2

=

7

3

，
由椭圆定义知2a=|MF₁|+|MF₂|=4，得a=2，故b²=a²-1=3，
从而椭圆的方程为

y2

4

+

x2

3

=1；

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
则由

OA

+

OB

=λ

OP

知，
x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，且

y 2 0

4

+

x 2 0

3

=1，①
又直线l：y=k（x+t），kt≠0与圆x²+（y+1）²=1相切，则有

|kt+1|

1+k2

=1，
由k≠0，可得k=

2t

1-t2

（t≠±1，t≠0）②
又联立

y=k(x+t) 4x2+3y2=12

，
消去y得（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0，
且△=36k⁴t²-4（4+3k²）（3k²t²-12）＞0恒成立，且x₁+x₂=-

6k2t

4+3k2

，x₁x₂=

3k2t2-12

4+3k2

所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2kt=

8kt

4+3k2

，所以得P（

-6k2t

λ(4+3k2)

，

8kt

λ(4+3k2)

），
代入①式得

12k4t2

(4+3k2)2λ2

+

16k2t2

λ2(4+3k2)2

=1，所以λ²=

4k2t2

4+3k2

，
又将②式代入得，λ²=

4

( 1 t2 )2+ 1 t2 +1

，t≠0，t≠±1，
易知（

1

t2

）²+

1

t2

+1＞1且（

1

t2

）²+

1

t2

+1≠3，
所以λ²∈（0，

4

3

）∪（

4

3

，4），
所以λ的取值范围为{λ|-2＜λ＜2，且λ≠0，且λ≠±

2 2

3

}．

点评：本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，同时考查直线和圆相切的条件，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，由二次函数的值域是解题的关键．