Question

已知（

3	x2

+3x²）ⁿ展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992
（1）求展开式中二项式系数最大的项；　　　　
（2）求展开式中系数最大的项．
（3）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：综合题,二项式定理

分析：令x=1可得，展开式的各项系数之和为4ⁿ，而展开式的二项式系数之和为2ⁿ，从而可求n得值，及通项
（1）由上可得，n=5时，展开式有6项，则展开式中二项式系数最大的项是第3，4项，代入通项可求
（2）假设第k+1项最大，则

3k C k 5 ≥3k-1 C k-1 5 3k C k 5 ≥3k+1 C k+1 5

，解出k得范围，结合k∈N^*可求；
（3）

10+4r

3

为有理数，则r=2，5，可得展开式中所有的有理项．

解答： 解：由题意在（

3	x2

+3x²）ⁿ中，令x=1可得，展开式的各项系数之和为（1+3×1）ⁿ=4ⁿ
又∵展开式的二项式系数之和为2ⁿ
∴4ⁿ-2ⁿ=992
∴n=5，T_r+1=3r

C

r 5

x

10+4r

3

（1）当n=5时，展开式有6项，则展开式中二项式系数最大的项是第3，4项，即90x⁶，270x

22

3

；
（2）假设第k+1项最大，则

3k C k 5 ≥3k-1 C k-1 5 3k C k 5 ≥3k+1 C k+1 5

，解得3.5≤k≤4.5，
∵k∈N^*
∴k=4，
∴T₅=405x

26

3

为所求的系数最大的项；
（3）

10+4r

3

为有理数，则r=2，5，展开式中所有的有理项为90x⁶，243x¹⁰．

点评：本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和及展开式的二项式系数和的应用，二项展开式的通项的应用，属于基本知识的综合应用