Question

已知曲线C的方程是y=x²-2x+2．
（1）求曲线C关于点（-2，1）对称的曲线C₁的方程；
（2）求曲线C关于直线x-y-3=0对称的曲线C₂的方程．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）在曲线C₁的上任意取一点A（x，y），则点A关于点（-2，1）对称的点B（-4-x，2-y）在曲线C：y=x²-2x+2上，求得曲线C₁的方程．
（2）在曲线C₂上任意取一点M（x，y），设点M关于直线x-y-3=0的对称点为N（a，b），利用垂直、和中点在对称轴上这两个条件求得点N的坐标，再把点N的坐标代入曲线C的方程化简可得曲线C₂的方程．

解答： 解：（1）在曲线C₁的上任意取一点A（x，y），则点A关于点（-2，1）对称的点B（-4-x，2-y）在曲线C：y=x²-2x+2上，
故有2-y=（-4-x）²-2（-4-x）+2，即 y=-x² -16x-24．
（2）在曲线C₂上任意取一点M（x，y），设点M关于直线x-y-3=0的对称点为N（a，b），则由题意可得点N在在曲线C：y=x²-2x+2上．
由

b-y a-x ×1=-1 a+x 2 - b+y 2 -3=0

，求得

a=y+3 b=x-3

，故N（y+3，x-3），把点N的坐标代入曲线C：y=x²-2x+2，可得x-3=（y+3）²-2（y+3）+2，
化简可得 x-y²-4y-8=0．

点评：本题主要考查求一个点关于某个点或某直线的对称点的坐标的方法，求点的轨迹方程，属于基础题．