Question

4．定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．则下列结论成立的是①②（填序号）
①f（0）=1；             
②对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
③f（x）是R上的减函数；
④若f（x）•f（2x-x²）＞1，则x的取值范围是[0，3]．

Answer 1

分析 ①令a=1，b=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再结合当x＞0时，f（x）＞1．得出f（0）=1，
②分类证明：（i）当x＞0时，f（x）＞1＞0成立；（ii）当x=0时，f（x）=f（0）=1＞0成立；（iii）当x＜0时，令a=x，b=-x，即可证明，
③任意x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂），确定出f（x₁）＞f（x₂）后即可判断出函数f（x）在R上单调递增，
④根据函数为增函数，即可得到3x-x²＞0，解得即可．

解答 解：①：令a=1，b=0，则有：f（1+0）=f（1）•f（0）⇒f（1）=f（1）•f（0）⇒f（1）（1-f（0））=0，
∵当x＞0时，f（x）＞1＞0，
∴1-f（0）=0，
∴f（0）=1
②：（i）当x＞0时，f（x）＞1＞0成立；
（ii）当x=0时，f（x）=f（0）=1＞0成立；
（iii）当x＜0时，令a=x，b=-x，则有：f（x+（-x））=f（x）•f（-x）⇒f（0）=f（x）•f（-x）⇒f（x）•f（-x）=1＞0，
∵x＜0，
∴-x＞0，
∴f（-x）＞1＞0，
故f（x）＞0成立．
综上可得：x∈R时，恒有f（x）＞0．
③：f（x）在R上是增函数，证明如下：
设任意x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
由②得：x∈R时，恒有f（x）＞0，
∴f（x₂）＞0
又x₁＞x₂，∴x₁-x₂＞0，
由当x＞0时，f（x）＞1恒成立得：f（x₁-x₂）＞1⇒f（x₁-x₂）-1＞0，
∴f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在R上是增函数．
④：∵f（x）•f（2x-x²）＞1，
∴f（3x-x²）＞f（0），
∴3x-x²＞0，
解得0＜x＜3，
故①②正确，
故答案为：①②

点评 本题考查抽象函数求函数值、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化．牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路