Question

【题目】已知函数.

（I）设 是的极值点．求实数的值，并求函数的单调区间；

（II）证明：当 时，.

Answer 1

【答案】(1) f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．

(2)证明见解析.

【解析】分析：（I）求导，利用求出值，再利用导数的符号变化确定函数的单调区间；（II）先利用进行放缩，再构造函数、求导，利用导数确定新构造函数的最值即可．

详解：（I）f（x）的定义域为 ，f ′（x）=．

由题设知，f ′（2）=0，所以．

从而 ， ．

当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．

（II）当时， ．

设，则

当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．

故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．

因此，当 时，.