Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）═log2（ +a）．
（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（1）＜2，

则log2（1+a）＜2，

即0＜1+a＜4，

解得：a∈（﹣1，3）

（2）解：令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，

则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，

即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5，

即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，

① 当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，

此时 +a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，

即a=4时函数g（x）有一个零点；

②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，

此时 +a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，

即a=3时函数g（x）有一个零点；

③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，

方程有两个根，x=﹣1，或x= ，

当x=﹣1时， +a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，

当x= 时， +a=（a﹣4）x+2a﹣5= ，当a 时，满足条件，

a≤ 时，函数g（x）无零点；

＜a≤1时，函数g（x）有一个零点；

a＞1且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点

【解析】（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得实数a的取值范围；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，分类讨论方程根的个数，可得不同情况下函数g（x）的零点个数．