Question

（本题满分15分）
已知点，是抛物线上相异两点，且满足．
（Ⅰ）若的中垂线经过点，求直线的方程；
（Ⅱ）若的中垂线交轴于点，求的面积的最大值及此时直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），直线方程为。

解析试题分析：（I）当垂直于轴时，显然不符合题意，
所以可设直线的方程为，代入方程得：

∴              ………………………………2分
得： 
∴直线的方程为                  
∵中点的横坐标为1，∴中点的坐标为  …………………………4分       
∴的中垂线方程为 
∵的中垂线经过点，故，得   ………………………6分
∴直线的方程为           ………………………7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂线方程为，∴点的坐标为……8分
因为直线的方程为
∴到直线的距离…………………10分
由 得，，

     …………………………12分
∴,  设,则，
，，由，得 
在上递增，在上递减，当时，有最大值
得：时，    
直线方程为                    ……………15分
（本题若运用基本不等式解决，也同样给分）
法二：
（Ⅰ）当垂直于轴时，显然不符合题意，
当不垂直于轴时，根据题意设的中点为，
则            &nbs