Question

已知函数f（x）=

( 1 2 )x-1        x∈[-2，0] loga( 7 2 x+1)   x∈(0，2]

，若f（x）的值域为[0，3]，则常数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：①当x∈[-2，0]时，求得f（x）的值域，检验满足条件．②当x∈[0，2]时，再根据f（x）的值域为[0，3]，求得常数a的取值范围．

解答： 解：①当x∈[-2，0]时，f（x）=(

1

2

)x-1∈[0，3]，满足条件．
②当x∈[0，2]时，
若a＞1，则f（x）=log_a（

7

2

x+1）∈[0，log_a8]，∴log_a8≤3，a³≥8，a≥2．
若a∈（0，1），f（x）=log_a（

7

2

x+1）＜0，不满足条件．
综上可得，a≥2，即a的范围是[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）．

点评：本题主要考查指数、对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．