Question

3．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{2}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的首项和公差写出通项公式；
（2）根据（1）的结论，进一步求出新数列的通项公式，最后采用裂项相消法求出数列的前n项和．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{2}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n．
（2）由（1）a_n=$\frac{1}{2}$n，
则：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}n•\frac{1}{2}（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
T_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=4（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查的知识要点：赋值法在求数列通项公式中的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题型．