Question

1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=$\sqrt{7}$，b=3，$\sqrt{7}$sinB+sinA=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求sin（2B+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理得出sinA，sinB的关系，代入条件式解出sinA，根据A的范围得出A的值；
（II）根据sinA计算sinB，cosB，再利用倍角公式计算sin2B，cos2B，最后使用两角和的正弦公式计算．

解答 解：（Ⅰ）在锐角△ABC中，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{3\sqrt{7}sinA}{7}$．
∵$\sqrt{7}$sinB+sinA=2$\sqrt{3}$，∴4sinA=2$\sqrt{3}$．
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又0$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinB=$\frac{3\sqrt{7}sinA}{7}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．
又0＜B＜$\frac{π}{2}$，∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
∴sin2B=2sinBcosB=2×$\frac{3\sqrt{21}}{14}×\frac{\sqrt{7}}{14}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，cos2B=cos²B-sin²B=$\frac{7}{196}-\frac{189}{196}$=-$\frac{13}{14}$．
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）=sin2Bcos$\frac{π}{6}$+cos2Bsin$\frac{π}{6}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{13}{14}×\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，掌握三角变换公式是基础．