Question

已知函数g（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）g（x）在（1，2）单调递增，求a的取值范围．
（2）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）即导函数在区间（1，2）上大于或等于0恒成立，然后转化为函数的最值问题来解；
（2）求导数，然后对不等式的解集进行讨论，获得原函数的递增、递减区间．

解答： 解：（1）由已知得g′（x）=

1

2

x2+(a-2)x≥0在（1，2）上恒成立．
又因为x∈（1，2），故只需a≥2-

1

2

x，当x∈（1，2）时恒成立．
显然，当x=1时，a≥2-

1

2

=

3

2

即为所求．
（2）由已知得f（x）=

1

2

x2+(a-2)x-2alnx．（x＞0）．
易得f′(x)=x-

2a

x

+a-2=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

(x＞0)．
①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
②当-2＜a≤0时，f（x）在（0，-a）上是增函数，在（-a，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
③当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
④当a＜-2时，f（x）在（0，2）上是增函数，在（2，-a）上是减函数，在（-a，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，属于常规题，要注意总结思路．