Question

正项等差数列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃=15，且a₁+2，a₂+5，a₃+13构成等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a₂=5，d＞0，（7-d）（18+d）=100，由此能求出bn=5•2n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）由a_nb_n=5（2n+1）•2^n-1，利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵正项等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=15，
∴a₂=5，d＞0，
∵a₁+2，a₂+5，a₃+13构成等比数列{b_n}的前三项，
∴{b_n}的前3项分别为7-d，10，18+d，
依题意，有（7-d）（18+d）=100，
解得d=2或d=-13（舍），
∴{b_n}的首项b₁=5，公比q=2，
∴bn=5•2n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）∵a_nb_n=5（2n+1）•2^n-1，
∴T_n=5[3•2⁰+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1]，①
2T_n=5[3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ]，②
①-②，得-T_n=5[3+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ]
=5[3+

4(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ]
=5[2ⁿ⁺¹-1-（2n+1）•2ⁿ]，
∴T_n=5+5（2n-1）•2ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．