Question

现欲建造一个无盖的长方体水池，其长、宽、高分别为a、a、b，且a²•b=3，已知底面的单位造价为150元，四壁的单位造价为100元，
（1）试求无盖的长方体水池的总造价y表示为a的函数；
（2）当a为何值时，总价y取得最小值？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）分别计算池底与池壁的造价，可得y关于a的函数表达式；
（Ⅱ）利用导数研究函数的最值即可求总造价最低．

解答： 解：（Ⅰ）水池的底面积为a²，造价为150a²，
水池四壁的面积为4ab．造价为100×4ab=400ab，
则无盖的长方体水池的总造价y=400ab+150a²=

1200

a

+150a² （a＞0）．
（Ⅱ）∵y=f（a）=

1200

a

+150a² （a＞0）．
∴函数的导数f′（a）=300a-

1200

a2

=

300a3-1200

a2

，
由f′（a）=0，解得a=

3	2

，
即当a=

3	2

，时，函数取得最小值，此时总价y取得最小值．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了简单的建模思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．